矩阵乘法为什么这样

矩阵乘法

线代学上学了矩阵乘法,书上说,矩阵乘法有如下规则

  1. 左边的矩阵的列数要等于右边矩阵的行数才有意义
  2. 若乘积AB有意义,AB的第$i$行,第$j$列的元素等于A第$i$行,第$j$列对应元素成绩之和

但是,为什么这样乘呢?在看了阮一峰的文章后,恍然大悟。可惜的是,文章中的例子都是方阵,来试一下不是方阵的,还可以解释第一条1
以这两个矩阵为例。

线性方程组

关键就是一句话,矩阵的本质就是线性方程式,两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度,理解矩阵乘法就毫无难度。

矩阵乘法可以看作代入消元的过程

例子

$A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$
$B=\begin{bmatrix} 4 & 3 & 6 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}
$

有这样两个矩阵(线性代数及其应用中2.1矩阵运算的例3)
设他们对应的线性方程组为:
$A=\begin{cases} 2x_{1}+3x_{2}=a_{1}\\x_{1}+5x_{2}=a_{2} \end{cases}$ $B=\begin{cases} 4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}=x_{1}\\t_{1}-2t_{2}+3t_{3}=x_{2}\end{cases}$

为什么这么设?
为了代入消元从而求出$t$与$a$的关系。又因为$A$方程有两个未知数,$B$方程哟三个未知数。这样设可以把右边的方程代入到左边把$x$全部消掉,而如果反过来来代,两个方程不能把$t$全部消掉。所以如果乘法不符合第一条1则无意义。

代入后:
$\begin{cases}2\times\left( 4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}\right) +3\left( t_{i}-2t_{2}+3t_{3}\right) =a_{1}\\4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}+5\times\left( t_{1}-2t_{2}+3t_{3}\right) =a_{2}\end{cases}$
因式分解:

$\begin{cases}\left( 2\times4+3\times1\right) t_{1}+\left( 2\times3-3\times2\right) t_{2}+\left( 2\times6+3\times3\right) t_{3}=a_{1}\\ \left( 1\times4+5\times1\right) t_{1}+\left( 1\times3-5\times2\right) t_{2}+\left( 1\times6+5\times3\right) t_{3}=a_{2}\end{cases}$
可以看出符合乘法运算规律2


  1. 1.左边的矩阵的列数要等于右边矩阵的行数才有意义
  2. 2.若乘积AB有意义,AB的第$i$行,第$j$列的元素等于A第$i$行,第$j$列对应元素成绩之和
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