矩阵乘法为什么这样

矩阵乘法

线代学上学了矩阵乘法，书上说，矩阵乘法有如下规则

1. 左边的矩阵的列数要等于右边矩阵的行数才有意义
2. 若乘积 AB 有意义，AB 的第 $i$ 行，第 $j$ 列的元素等于 A 第 $i$ 行，第 $j$ 列对应元素成绩之和

但是，为什么这样乘呢？在看了 阮一峰的文章 后，恍然大悟。可惜的是，文章中的例子都是方阵，来试一下不是方阵的，还可以解释第一条 ¹。
以这两个矩阵为例。

线性方程组

关键就是一句话，矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度，理解矩阵乘法就毫无难度。

阮一峰 理解矩阵乘法

矩阵乘法可以看作代入消元的过程

例子

$A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}$
$B=\begin{bmatrix} 4 & 3 & 6 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$

有这样两个矩阵（线性代数及其应用中 2.1 矩阵运算的例 3）
设他们对应的线性方程组为：
$B=\begin{cases} 4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}=x_{1}\\t_{1}-2t_{2}+3t_{3}=x_{2}\end{cases}$

为什么这么设？
为了代入消元从而求出 $t$ 与$a$的关系。又因为 $A$ 方程有两个未知数，$B$方程哟三个未知数。这样设可以把右边的方程代入到左边把 $x$ 全部消掉，而如果反过来来代，两个方程不能把 $t$ 全部消掉。所以如果乘法不符合第一条 ¹ 则无意义。

代入后：
$\begin{cases}2\times\left(4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}\right) +3\left(t_{i}-2t_{2}+3t_{3}\right) =a_{1}\\4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}+5\times\left(t_{1}-2t_{2}+3t_{3}\right) =a_{2}\end{cases}$
因式分解：

$\begin{cases}2\times\left(4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}\right) +3\left(t_{i}-2t_{2}+3t_{3}\right) =a_{1}\\4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}+5\times\left(t_{1}-2t_{2}+3t_{3}\right) =a_{2}\end{cases}$
可以看出符合乘法运算规律 ²

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1. 1. 左边的矩阵的列数要等于右边矩阵的行数才有意义 ↩
2. 2. 若乘积 AB 有意义，AB 的第 i 行，第 j 列的元素等于 A 第 i 行，第 j 列对应元素成绩之和 ↩