矩阵乘法为什么这样
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矩阵乘法
线代学上学了矩阵乘法,书上说,矩阵乘法有如下规则
- 左边的矩阵的列数要等于右边矩阵的行数才有意义
- 若乘积 AB 有意义,AB 的第 i 行,第 j 列的元素等于 A 第 i 行,第 j 列对应元素成绩之和
但是,为什么这样乘呢?在看了 阮一峰的文章 后,恍然大悟。可惜的是,文章中的例子都是方阵,来试一下不是方阵的,还可以解释第一条1。
以这两个矩阵为例。
线性方程组
关键就是一句话,矩阵的本质就是线性方程式,两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度,理解矩阵乘法就毫无难度。
矩阵乘法可以看作代入消元的过程
例子
A=[2135]
B=[413−263]
有这样两个矩阵(线性代数及其应用中 2.1 矩阵运算的例 3)
设他们对应的线性方程组为:
B={4t1+3t2+6t3=x1t1−2t2+3t3=x2
为什么这么设?
为了代入消元从而求出 t 与a的关系。又因为 A 方程有两个未知数,B方程哟三个未知数。这样设可以把右边的方程代入到左边把 x 全部消掉,而如果反过来来代,两个方程不能把 t 全部消掉。所以如果乘法不符合第一条 1 则无意义。
代入后:
{2×(4t1+3t2+6t3)+3(ti−2t2+3t3)=a14t1+3t2+6t3+5×(t1−2t2+3t3)=a2
因式分解:
{2×(4t1+3t2+6t3)+3(ti−2t2+3t3)=a14t1+3t2+6t3+5×(t1−2t2+3t3)=a2
可以看出符合乘法运算规律2