矩阵乘法为什么这样

矩阵乘法

线代学上学了矩阵乘法,书上说,矩阵乘法有如下规则

  1. 左边的矩阵的列数要等于右边矩阵的行数才有意义
  2. 若乘积 AB 有意义,AB 的第 ii 行,第 jj 列的元素等于 A 第 ii 行,第 jj 列对应元素成绩之和

但是,为什么这样乘呢?在看了 阮一峰的文章 后,恍然大悟。可惜的是,文章中的例子都是方阵,来试一下不是方阵的,还可以解释第一条 1
以这两个矩阵为例。

线性方程组

关键就是一句话,矩阵的本质就是线性方程式,两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度,理解矩阵乘法就毫无难度。

矩阵乘法可以看作代入消元的过程

例子

A=[2315]A=\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix}
B=[436123]B=\begin{bmatrix} 4 & 3 & 6 \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}

有这样两个矩阵(线性代数及其应用中 2.1 矩阵运算的例 3)
设他们对应的线性方程组为:
B={4t1+3t2+6t3=x1t12t2+3t3=x2B=\begin{cases} 4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}=x_{1}\\t_{1}-2t_{2}+3t_{3}=x_{2}\end{cases}

为什么这么设?
为了代入消元从而求出 ttaa的关系。又因为 AA 方程有两个未知数,BB方程哟三个未知数。这样设可以把右边的方程代入到左边把 xx 全部消掉,而如果反过来来代,两个方程不能把 tt 全部消掉。所以如果乘法不符合第一条 1 则无意义。

代入后:
{2×(4t1+3t2+6t3)+3(ti2t2+3t3)=a14t1+3t2+6t3+5×(t12t2+3t3)=a2\begin{cases}2\times\left(4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}\right) +3\left(t_{i}-2t_{2}+3t_{3}\right) =a_{1}\\4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}+5\times\left(t_{1}-2t_{2}+3t_{3}\right) =a_{2}\end{cases}
因式分解:

{2×(4t1+3t2+6t3)+3(ti2t2+3t3)=a14t1+3t2+6t3+5×(t12t2+3t3)=a2\begin{cases}2\times\left(4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}\right) +3\left(t_{i}-2t_{2}+3t_{3}\right) =a_{1}\\4t_{1}+3t_{2}+6t_{3}+5\times\left(t_{1}-2t_{2}+3t_{3}\right) =a_{2}\end{cases}
可以看出符合乘法运算规律 2


  1. 1. 左边的矩阵的列数要等于右边矩阵的行数才有意义
  2. 2. 若乘积 AB 有意义,AB 的第 i 行,第 j 列的元素等于 A 第 i 行,第 j 列对应元素成绩之和